微积分
函数
基本初等函数图像(一)
一次函数 $ y = kx+b \ (k \ne 0)$ [绿]
- $k$ 斜率
- $b$ 截距
| k | b | 象限 |
|---|---|---|
| > 0 | >0 | 一、二、三 |
| > 0 | = 0 | 一、三 |
| > 0 | < 0 | 一、三、四 |
| < 0 | > 0 | 一、二、四 |
| < 0 | = 0 | 二、四 |
| < 0 | < 0 | 二、三、四 |
二次函数 $y = ax^{2} + bx + c \ (a \ne 0)$ [紫]
- $a$ 二次项系数 控制了二次函数从顶点的增长(或下降)速度，即二次函数开口方向和大小。$\displaystyle |a|$ 越大，开口越小，函数就增长得越快。以及抛物线的对称轴(顶点x的坐标)
- $b$ 一次项系数 控制了抛物线的对称轴(顶点x的坐标)。以及控制了抛物线穿过 $\displaystyle y$ 轴时的倾斜度
- $c$ 常数项 控制了抛物线最低点或最高点的高度，它是抛物线与 $\displaystyle y$ 轴的交点
其中，方程 $ax^{2} + bx + c \ (a \ne 0) = 0$ 的解即为函数的与 $x$ 轴的交点
$$ \begin{array}{l} a\mathop{{x}}\nolimits^{{2}}+bx+c=0 \\ \Delta =\mathop{{b}}\nolimits^{{2}}-4ac \\ \left\{\begin{matrix} \Delta \gt 0\text{方程有两个不相等的实根} \\ \Delta = 0\text{方程有两个相等的实根} \\ \Delta \lt 0\text{方程无实根} \end{matrix}\right. \end{array} $$三次函数 $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d \ (a \ne 0)$ [红]
反比例函数 $y = \frac{k}{x} \ (x \ne 0) $ [蓝]
- $k > 0$ 反比例函数的图像在第一、三象限
- $k < 0$ 反比例函数的图像在第二、四象限
基本初等函数图像(二)
幂函数 $y = x^{\mu} \ (\mu \in R)$
- $\mu > 0$ 函数图像在第一象限，单调递增 [红] [紫]
- $\mu < 0$ 函数图像在第一象限，单调递减 [蓝] [绿]
- $\mu \ne 0$ 无界函数
基本初等函数(三)
指数函数 $y = a ^ {x} \ (a > 0, a \ne 1)$
定义域 $(-\infty ,+\infty )$ 值域 $(0, +\infty )$ 且函数图像都经过点$(0, 1)$
奇偶性: 非奇非偶
- $a > 1$ 函数单调递增 [红]
- $0 < a < 1$ 函数单调递减 [绿]
指数相关公式
$$ a^0 = 1 \ (a \ne 0) $$$$ a^{-n} = \frac1{a^n}\ (a\ne0,n\in N^+) $$$$ \sqrt[n]{a^m}=a^{\frac mn} \ (a>0,mn\in N^+,n>1) $$$$ a^{-\frac mn}= \frac{1}{a^\frac mn}=\frac1{\sqrt[n]{a^m}} \ (a>0,mn\in N^+,n>1) $$0的正分数指数幂是0. 0的负分数指数幂无意义
对数函数 $y = \log_{a}{x} (a > 0, a \ne 1)$
定义域 $(0, +\infty )$ 值域 $(-\infty ,+\infty )$ 且函数图像都经过点$(1, 0)$
奇偶性: 非奇非偶
- $a > 1$ 函数单调递增 [红]
- $0 < a < 1$ 函数单调递减 [绿]
对数相关公式
$$ \log_a{MN} = \log_aM + log_aN $$$$ \log_a{\frac MN}=\log_aM-\log_aN $$$$ \log_aM^n=n\log_aM $$$$ \log_{a^m}{M^n}=\frac nm\log_aM $$$$ a^{\lg_ab}=b $$$$ a^x=e^{x\ln a} $$$$ a^x=N\Leftrightarrow x=\log_aN $$$$ 对数换底公式: \log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca} \ (a>0,a\ne1,b>0;c>0,c\ne1) $$$e = 2.71828…$
$\log_{10}N \Longleftrightarrow \lg N$
$\log_{e}N \Longleftrightarrow \ln N$
在上式中，当$c=b$时，有$\log_ab=\frac1{log_ba}$
基本初等函数(四)
正弦函数 $y = \sin x$ [红]
余弦函数 $y = \cos x$ [蓝]
正切函数 $y = \tan x$ [绿]
| 函数 | 定义域 | 值域 | 周期性 | 奇偶性 | 对称轴 | 对称中心 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\sin x$ | $R$ | $[-1,1]$ | $2k\pi \ (k \in Z 且 k \ne 0)$ | 奇函数 | $x = \frac{\pi}{2}+k\pi (k \in Z)$ | $(k\pi, 0) \ k\in Z$ |
| $\cos x$ | $R$ | $[-1,1]$ | $2k\pi \ (k \in Z 且 k \ne 0)$ | 偶函数 | $x = 2k\pi (k \in Z)$ | $(\frac{\pi}{0}, 0) \ k\in Z$ |
| $\tan x$ | ${{ x \ \mid \ x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi , k\in Z}}$ | $R$ | $\pi$ | 奇函数 | $\phi $ | $(\frac{k\pi}{2},0)\ k\in Z$ |
其他三角函数
| 函数 | 定义域 | 变换 |
|---|---|---|
| $\sec x$ | ${ x \ \mid \ x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi , k\in Z } $ | $\frac{1}{\cos x}$ |
| $\csc x$ | ${ x \ \mid \ x \in R \ 且 \ x \ne k\pi , \ k \in Z } $ | $\frac{1}{\sin x}$ |
| $\cot x$ | ${ x \ \mid \ x \in R \ 且 \ x \ne k\pi , \ k \in Z } $ | $\frac{\cos x}{\sin x}$ |
基本关系
$$ \sin^ 2 x + \cos ^ 2 x = 1 $$$$ 1+\tan ^ 2 x = \sec ^ 2 x $$$$ 1+\cot^2x = \csc^2x $$$$ \cos(x_{1} \pm x_{2}) = \cos x_{1} \cos x_{2} \pm \sin x_{1} \sin x_{2} $$$$ \sin(x_{1} \pm x_{2}) = \sin x_{1} \cos x_{2} \pm \cos x_{1} \sin x_{2} $$三角恒等变换
$$ \cos2x = \cos^2x - \sin^2x = 2\cos^2x - 1 = 1 - 2\sin^2x $$$$ \sin2x = 2 \sin x \cos x $$此处非全部公式 仅仅列举部分公式
常用三角函数值
| 角度制 | $0°$ | $\phi$ | $\phi$ | $30°$ | $45°$ | $60°$ | $90°$ | $180°$ | $270°$ | $360°$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 弧度制 | $0$ | $1$ | $-1$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
| $y = \sin x$ | $0$ | $0.8415$ | $\frac{\pi}2$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt3}{2}$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ |
| $y = \cos x$ | $1$ | $0.5403$ | $0$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
| $y = \tan x$ | $0$ | $1.5574$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt3$ | $\phi$ | $0$ | $\phi$ | $0$ |
| $y = \sec x$ | $0$ | $\phi$ | $\phi$ | $\frac2{\sqrt3}$ | $\frac{\sqrt2}2$ | $2$ | $\phi$ | $-1$ | $\phi$ | $1$ |
| $y = \csc x$ | $\phi$ | $\phi$ | $\phi$ | $2$ | $\sqrt2$ | $\frac2{\sqrt3}$ | $1$ | $\phi$ | $-1$ | $\phi$ |
| $y = \cot x$ | $\phi$ | $\phi$ | $\phi$ | $\sqrt3$ | $1$ | $\frac1{\sqrt3}$ | $0$ | $\phi$ | $0$ | $\phi$ |
基本初等函数(五)
| 名称 | 表达式 | 定义 | 定义域 | 值域 | 单调性 | 奇偶性 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 反正弦函数[橙] | $y=\arcsin x$ | $x = \sin y$ | $[-1,\ 1]$ | $[-\frac{\pi}2,\ \frac{\pi}2]$ | 单调递增(有界函数) | 奇函数 |
| 反余弦函数[蓝] | $y=\arccos x$ | $x=\cos y$ | $[-1,\ 1]$ | $[0,\ \pi]$ | 单调递减(有界函数) | |
| 反正切函数[绿] | $y=\arctan x$ | $x = \tan y$ | $R$ | $(-\frac{\pi}2,\ \frac{\pi}2)$ | 单调递减(有界函数) | 奇函数 |
| 名称 | 表达式 | 定义 | 定义域 | 值域 | 单调性 |
|---|---|---|---|---|---|
| 反余切函数[紫] | $y=\arccot x$ | $x = \cot y$ | $R$ | $(0, \ \pi)$ | 单调递减(有界函数) |
| 反正割函数[黑] | $y=\arcsec x$ | $x = \sec y$ | $(-\infty , \ -1]\cup[1, \ +\infty )$ | $[0,\ \frac\pi2)\cup(\frac\pi2, \ \pi]$ | |
| 反余割函数[红] | $y=\arccsc x$ | $x = \csc y$ | $(-\infty , \ -1]\cup[1, \ +\infty )$ | $[-\frac\pi2,\ 0)\cup(0, \ \frac\pi2]$ |
常用反三角函数值
| $x$ | $-1$ | $0$ | $\frac12$ | $\frac{\sqrt3}3$ | $\frac{\sqrt2}2$ | $\frac{\sqrt3}2$ | $\sqrt3$ | $1$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\arcsin x$ | $-\frac{\pi}2$ | $0$ | $\frac\pi6$ | $\phi$ | $\frac\pi4$ | $\frac\pi3$ | $\phi$ | $\frac\pi2$ |
| $\arccos x$ | $\pi$ | $\frac{\pi}2$ | $\frac\pi3$ | $\phi$ | $\frac\pi4$ | $\frac\pi6$ | $\phi$ | $0$ |
| $\arctan x$ | $-\frac{\pi}4$ | $0$ | $\phi$ | $\frac\pi6$ | $\phi$ | $\phi$ | $\frac\pi3$ | $\frac\pi4$ |
极限
$$ \lim_{x \to x0} f(x)=A $$两个重要极限
$$ ①\ \lim_{x\to{0}}\frac{\sin x}x = \lim_{x\to0}\frac x{\sin x}=1 $$$$ ②\ \lim_{x\to\infty}(1+\frac1x)^x \Leftrightarrow \lim_{x\to0}(1+\frac1x)^\frac1x =e \Rightarrow \lim_{f(x)\to0 \ g(x)\to\infty}[1+f(x)]^{g(x)}=e^{lim[f(x)\cdot g(x)]} $$常用等价无穷小
前提条件: 当$x\to0$时
- $$ \sin x\sim x $$
- $$ \tan x \sim x $$
- $$ \arcsin x \sim x $$
- $$ \arctan x \sim x $$
- $$ e^x-1\sim x $$
- $$ a^x-1\sim x\ln a\ (a>0,a\ne1) $$
- $$ \ln{(1+x)}\sim x $$
- $$ \log_a{(1+x)}\sim \frac x{\ln a}\ (a>0,a\ne1) $$
- $$ (1+x)^a-1\sim ax $$
- $$ \sqrt[n]{1+x}-1\sim \frac xn $$
- $$ 1-\cos x \sim \frac {x^2}2 $$
无穷小量阶比较
| 高阶无穷小 | 低阶无穷小 | 同阶无穷小 | 等价无穷小 |
|---|---|---|---|
| $\lim\frac {a(x)}{b(x)} = 0$ | $\lim\frac {a(x)}{b(x)} = \infty$ | $\lim\frac {a(x)}{b(x)} = C \ (C\ne0)$ | $\lim\frac {a(x)}{b(x)} = 1$ |
求极限基础10法
| 类型 | 举例 | 使用方法 | 思路 |
|---|---|---|---|
| n项和形式的数列 | $\sum_{n=1}^{\infty } \lim_{n\to \infty}(\frac1{n^2+1}+\frac1 {n^2+2}+…+\frac 1 {n^2+n})$ | 夹逼法则 | 分子不变取坟墓最大的哪一项得到$y_n$ 取最小的哪一项得到$z_n$ |
| 函数在$x_0$处连续 | $\lim_{x\to1} \ x^2=1$ | 直接带入 | |
| $\frac00\ x\to x_0$分子分母均为多项式 | $\lim_{x\to3} \ \frac{x-3}{x^2-9}$ | 因式分解 | 通过因式分解将分母中的0因子消除掉后再直接带入 |
| $\frac00\ x\to x_0$分子分母里有根式 | $\lim_{x\to \infty}\ \frac{\sqrt{1+x}-2}{x-3}$ | 根式有理化 | 上下同乘某式，构成含根式的平方差公式，然后清0 |
| $\frac00\ x\to \infty$分子分母均为多项式 | $\lim_{x\to \infty} \ \frac{2x^3+x}{x^2+3}$ | 抓大头 | 上大无穷下大零，次数相同系数比 |
| $\frac00\ x\to 0$分式且含有$\sin x$ | $\lim_{x\to{0}}\frac{\sin x}x =1$ | 第一重要极限 | 将原始拆解成第一重要极限和另一个能直接带入的式子，求极限的乘积 |
| $p^0$ | $\lim_{f(x)\to0 \ g(x)\to\infty}[1+f(x)]^{g(x)}$ | 第二重要极限 | 原式 $= e^{lim[f(x)\cdot g(x)]}$ |
| $0\times $有界 | $\lim_{x\to \infty} \frac{\sin x}x$ | $0\times $有界$=0$ | |
| $\frac00、\frac\infty \infty$ | $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x^2}{\sin 2x} = \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{2x}$ | 等价无穷小替换 | |
| $\frac00、\frac\infty \infty$ | $\lim_{x\to 0} \frac{\ln x}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac1x}{2x}$ | 洛必达 | 上下同时求导 |
导数与微分
$$ f'(x_0)=\lim_{\triangle x\to0}\frac{\triangle y}{\triangle x}=\lim_{\triangle x\to0}\frac{f(x_0+\triangle x)-f(x_0)}{\triangle x} $$$$ f'(x_0)=\lim_{\triangle x\to0}\frac{f(x_0+\triangle x)-f(x_0)}{\triangle x}\Rightarrow \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\Rightarrow \lim_{n\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} $$也可以记作
$$ y'|x=x0 \Leftrightarrow \frac {dy} {dx}|x = x_0 \Leftrightarrow \frac{df(x)}{dx}|x = x_0 $$
要注意导数定义的严格形式，3个 $x_0$ 要对应，3个 $h$ 也要对应
$$ \lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(-h)}{h}=2f'(0) $$$$ \lim_{n\to0}\frac{f(x_0+Ah)-f(x_0)}{Bh}=\frac ABf'(x_0) $$基本导数公式
-
常数
$$ C' = 0 \ (C \in R) $$ -
幂函数
$$ (x^n)'=nx^{n-1}\ (n\in R) $$ -
对数函数
$$ {\log_ax}'=\frac1{x\ln a} \ (a>0,a\ne1) $$$$ (\ln x)'=\frac1 x $$ -
指数函数
$$ (a^x)'=a^x\ln a \ (a>0,a\ne1) $$$$ (e^x)'=e^x $$ -
三角函数
$$ (\sin x)'=\cos x $$$$ (\cos x)'=-\sin x $$$$ (\tan x)'=\frac1{\cos^2x}=\sec^2x $$$$ (\sec x)'=(\frac1{\cos x})' = \sec x\tan x $$$$ (\cot x)'=\frac1{\tan x}=-\frac1{\sin^2x}=-\csc^2x $$$$ (\csc x)'=(\frac1{\sin x})'=-\csc x\cot x $$ -
反三角函数
$$ (\arcsin x)'=\frac1{\sqrt{1-x^2}} $$$$ (\arccos x)'=-\frac1{\sqrt{1-x^2}} $$$$ (\arctan x)'=\frac1{1+x^2} $$$$ (\arccot x)'=-\frac1{1+x^2} $$
导数的四则运算
- $$ [u_{(x)}\pm v_{(x)}]'=u'_{(x)}\pm v'_{(x)} $$
- $$ [Cu_{(x)}]'=Cu'_{(x)}\ (C \in R) $$
- $$ [u_{(x)}v_{(x)}]'=u'_{(x)}v_{(x)}+u_{(x)}v'_{(x)} $$
- $$ [\frac{u_{(x)}}{v_{(x)}}]'=\frac{u'_{(x)}v_{(x)}-u_{(x)}v'_{(x)}}{v^2_{(x)}} \ (v_{(x)}\ne 0) $$
高阶导数公式
-
幂函数
$$ (x^m)^{(n)}=\frac{m!}{(m-n)!}x^{m-n} \ (m>n,\ mn\in N^*) $$$$ (x^m)^{(n)}=0\ (m指数函数
$$ (a^x)^{(n)}=a^x\cdot \ln^na \ (a>0,\ a\ne1) $$对数函数
$$ [\ln(x+a)]^{(n)}=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(x+a)^n} $$三角函数
$$ (\sin x)^{(n)}=\sin(x+\frac{n\pi}2) $$$$ (\cos x)^{(n)}=\cos(x+\frac{n\pi}2) $$
直线方程
-
法线方程
$$ y-y_0=-\frac1{f'(x_0)}(x-x_0) $$ -
切线方程
$$ y-y_0=f'(x_0)(x-x_0) $$
不定积分
基本积分公式
-
常数
$$ \int k \ dx=kx+C\ (k\in R) $$ -
幂函数
$$ \int x^n\ dx = \frac{x^n+1}{n+1}+C\ (n\ne -1) $$ -
反比例函数
$$ \int \frac1x\ dx = \ln\left | x \right | +C $$ -
指数函数
$$ \int e^x\ dx = e^x+C $$$$ \int a^x\ dx = \frac{a^x}{\ln a}+C\ (a>0,\ a\ne1) $$ -
三角函数
$$ \int \cos x \ dx = \sin x+C $$$$ \int \sin x \ dx=-\cos x+C $$$$ \int \frac1{\sqrt{1-x^2}}\ dx=\arcsin x+C $$$$ \int - \frac1{\sqrt{1-x^2}}\ dx = \arccos x+C $$$$ \int \frac1{1+x^2}\ dx = \arctan x+C $$$$ \int - \frac1{1+x^2}\ dx=\arccot x+C $$$$ \int \frac1{cos^2x}\ dx=\int \sec^2 x\ dx=\tan x +C $$$$ \int \frac1{\sin^2x}\ dx=\int \csc^2x\ dx = -\cot x+C $$$$ \int \sec x\tan x \ dx=\sec x+C $$$$ \int\csc x \cot x\ dx = -\csc x+C $$$$ \int \tan x \ dx= -\ln|\cos x|+C $$
不定积分的性质
$$ \int [f_{(x)}\pm g_{(x)}]\ dx=\int f_{(x)}\ dx \pm \int g_{(x)}\ dx $$$$ \int k f_{(x)}\ dx=k\int f_{(x)}\ dx $$$$ [\int f_{(x)}\ dx]'=f_{(x)}\ d\ [f_{(x)}\ dx]=f_{(x)}\ dx $$$$ \int f'_{(x)}\ dx=f_{(x)}+C\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \int d{f_{(x)}}=f_{(x)}+C $$换元法求积分
$$ \int u^2\ du=\frac13u^3+C $$$$ \int \frac1{ax+b}\ dx=\frac1a\ln|ax+b|+C\ (a\ne0) $$$$ \int \frac1{a^2+x^2}\ dx = \frac1a\arctan{\frac xa}+C \ (a\ne0) $$$$ \int \frac1{x^2-a^2}\ dx = \frac1{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C \ (a\ne0) $$$$ \int \frac1{\sqrt{a^2-x^2}}\ dx = \arcsin \frac xa+C\ (a\ne0) $$$$ \int \sec x\ dx = \ln|\sec x + \tan x|+C $$三角代换
-
弦代换
$$ \sqrt{a^2-x^2}\Rightarrow x=a\sin t\Rightarrow a\cos t $$ -
切代换
$$ \sqrt{a^2+x^2}\Rightarrow x=a\tan t\Rightarrow a\sec t $$ -
割代换
$$ \sqrt{x^2-a^2}\Rightarrow x=a\sec t\Rightarrow a\tan t $$
分部积分公式
$$ \int uv'\ dx=uv-\in u' v\ dx $$$$ \int u \ dv = uv - \int v \ du $$定积分
$$ A = \lim_{\triangle x\to0}\sum_{i=i}^{n} f_{(x_i)}\cdot \triangle x $$牛顿莱布尼兹公式(微积分基本定理)
$$ \int_{a}^{b} f_{(x)}\ dx=F_{(x)}|_{a}^{b}=F_{(b)}-F_{(a)} $$前提条件: 函数$f_{(x)}$在 $[a,b]$ 上连续
定积分的性质(部分)
- $$ \int_{a}^{b} 1\ dx=b-a $$
-
在区间$[a,b]$上:
$$ f_{(x)}\ dx \ge 0\ (a< b) $$ -
定积分中值定理 设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续
$$ \int_{a}^{b}f_{(x)}\ dx = f_{(\varepsilon )}\cdot(b-a)\ (a\le\varepsilon\le b) $$ -
当连续函数$f_{(x)}$为偶函数时:
$$ \int_{-a}^{a}f_{(x)}\ dx=2\int_0^af_{(x)}\ dx $$ -
当连续函数$f_{(x)}$为奇函数时:
$$ \int_{-a}^{a}f_{(x)}\ dx=0 $$
多元函数微分
二元函数的极限
$$ \lim_{x\to x_0 \ y\to y_0}f_{(x,y)}=A $$$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^2+y}=0 $$二元函数求偏导
$$ \frac{\partial z}{\partial x} =f_x(x,y)=\lim_{\triangle \to x_0}\frac{f(x_0+\triangle x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\triangle x} $$$$ \frac{\partial z}{\partial y} =f_y(x,y)=\lim_{\triangle \to y_0}\frac{f(x_0,y_0+\triangle y)-f(x_0,y_0)}{\triangle y} $$二元函数的二阶偏导数
$$ f_{xx}(x,y)=\frac{\partial^2z}{\partial x^2} $$$$ f_{xy}(x,y)=\frac{\partial^2z}{\partial x \partial y} $$$$ f_{yx}(x,y)=\frac{\partial^2z}{\partial y \partial x} $$$$ f_{yy}(,y)=\frac{\partial^2z}{\partial y^2} $$全微分
$$ dz=\frac{\partial z}{\partial x}\ dx+\frac{\partial z}{\partial y}\ dy $$三元函数的全微分
$$ du=\frac{\partial u}{\partial x}\ dx+\frac{\partial u}{\partial y}\ dy+\frac{\partial u}{\partial z}\ dz $$隐函数求导公式
一元
$$ \frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y} $$二元
$$ \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z} $$$$ \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z} $$二重积分
$$ \iint\limits_{D}f(x,y)\ d\sigma $$二重积分的性质(部分)
-
如果在闭区域 $D$ 内，$f(x,y)=1$，那么有
$$ \iint\limits_{D}1\ dxdy=\iint\limits_{D}\ dxdy = S_D $$ -
二重积分比较 如果在闭区域 $D$ 内，有 $f(x,y)\le g(x,y)$ 那么
$$ \iint\limits_{D}f(x,y)\ dxdy \le \iint\limits_{g}f(x,y)\ dxdy $$ -
二重积分中值定理 设函数在$f(x,y)$在闭区间 $D$ 上连续
$$ \iint\limits_{D}f(x,y)\ d\sigma = f(\varepsilon,\eta)\sigma $$ -
设 $M$ 和$m$ 分别是 $f(x,y)$ 在闭区间 $D$ 上的最大值和最小值, $\sigma$ 是 $D$ 的面积, 那么
$$ m\sigma \le \iint\limits_{D}f(x,y)\ d\sigma \le M\sigma $$
二重积分的计算
$$ \iint\limits_{D}f(x,y)\ dxdy =\int_{a}^{b}[\int_{\varphi _1(x)}^{\varphi _2{(x)}}f(x,y)\ dy\ ]\ dx $$X型积分区域
$$ \int_{a}^{b}\ dx \int_{\varphi _1(x)}^{\varphi _2{(x)}}f(x,y)\ dy $$Y型积分区域
$$ \int_{a}^{b}\ dy \int_{\psi _1(x)}^{\psi _2{(x)}}f(x,y)\ dx $$极坐标下的二重积分
基础公式
- $$ x^2+y^2=r^2 $$
- $$ x=r\cos \theta $$
- $$ y=r\sin\theta $$
- $$ dxdy=r\ dr\ d\theta $$
极坐标下化二重积分为两次一重积分
-
极点在区域 $D$ 之外
$$ \int_a^bd\theta \int_{\varphi _1({\theta})}^{\varphi _2(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\ dr $$ -
极点在区域 $D$ 边界上
$$ \int_a^bd\theta \int_{0}^{\varphi _(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\ dr $$ -
极点在区域 $D$ 之内
$$ \int_a^{2\pi}d\theta \int_{0}^{\varphi _(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\ dr $$
微分方程
微分方程的基本概念
- 微分方程的解: 带入微分方程后能使方程成为恒等式的函数$y=f(x)$
- 微分方程的通解: 微分方程的解中含有任意常数$C$, 且任意常数 $C$ 的个数与微分方程的阶数相同
- 微分方程的特解: 确定了通解中任意常数 $C$ 之后的解
- 微分方程的阶: 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫做微分方程的解
一阶可分离变量的微分方程
-
分离变量, 把微分方程写成:
$$ g(y)\ dy = f(x)\ dx $$ -
等式两边同时积分
$$ \int g(y)\ dy = \int f(x)\ dx $$ -
求原函数写通解
$$ G(y)=F(x)+C $$
齐次微分方程
-
化成齐次微分方程的标准形式:
$$ \frac{dy}{dx}=f(\frac yx) $$ -
换元, 令 $u=\frac yx$ 则 $y=xu$ 两边同时求导得:
$$ \frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx} $$ -
带入上式得
$$ u+x\frac{du}{dx}=f{u} $$ -
分离变量
一阶齐次线性微分方程
$$ y=e^{-\int{p(x)\ dx}}[\int Q(x)\ e^{\int p(x)\ dx}]\ dx+C $$特别的, 若为一阶齐次线性微分方程, 则令上式中的 $Q(x)=0$ 即可, 得:
$$ y=Ce^{-\int p(x)\ dx} $$
二阶常系数齐次线性微分方程
定义
$$ y''+py'+qy=f(x) $$- f(x) 为自由项
当 $f(x)\ne0$ 时, 方程为二阶常系数非齐次线性微分方程
当 $f(x)=0$时, 方程为二阶常系数齐次微分方程
解二阶常系数齐次线性微分方程
- 方程 $y’’+py’+qy=0 \ \Rightarrow r^2+pr+q=0$
- 求特征根
- 查下表
| 特征方程 $r^2+pr+q=0$ 的两根 | 微分方程 $y’’+py’+qy=0$ 的通解 |
|---|---|
| $\Delta>0$ 两个不相等的实根 $r_1, r_2$ | $y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{{r_2}x}$ |
| $\Delta=0$ 两个相等的实根 $r_1=r_2$ | $y=(C_1+C_2x)e^{rx}$ |
| $\Delta<0$ 一堆共轭复根 | $y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2 \sin\beta x)$ |
特解 通解求导后带入原微分方程即可
二阶常系数非齐次线性微分方程
$f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)$ 型求特解的方法
特解形式为:
$$ y^*=e^{ax}Q_m(x)x^k $$- 求特征根 解特征方程 $r^2+pr+q=0$ 得到特征根
- 设特解为上式
- $Q_m(x)$ 按照 $P_m$ 来确定
- 若$P_m$为常数, 则$Q_m=A$
- 若$P_m$为最高一次, 则$Q_m=Ax+B$
- 若$P_m$为最高二次, 则$Q_m=Ax^2+Bx+C$
- 若$P_m$为最高三次, 则$Q_m=Ax^3+Bx^2+Cx+D$
- ..
- 定 $k$ 值 按照 $\lambda$ 的情况确定
- 若$\lambda$不是特征根, 即 $\lambda\ne r_1\ne r_2$, 则 $k=0$
- 若$\lambda$是特征单根,即 $\lambda=r$, 则 $k=1$
- 若$\lambda$是特征重根, 即 $\lambda=r_1=r_2$, 则 $k=2$
- 解待定系数 $A\ B\ C\ …$
- 带入原方程, 解得特解 $y^*$
若求通解, 则需求出该微分方程的齐次线性微分方程形式的通解, 并相加
$f(x)=e^{\lambda x}(P\cos \omega x+Q\sin\omega x) \ (P,Q\in R)$ 型求特解的方法
特解形式为:
$$ y^*=e^{\lambda x}(A\cos \omega x+B\sin \omega x)x^k $$- 求特征根 解特征方程 $r^2+pr+q=0$ 得到特征根
- 设特解为上式
- 定 $k$ 值 按照 $\lambda\pm \omega i$ 的情况确定
- 若 $\lambda\pm \omega i$ 不是特征根, 则 $k=0$
- 若 $\lambda\pm \omega i$ 是特征根, 则 $k=1$
- 解待定系数 $A\ B\ …$
- 带入原方程, 解得特解 $y^*$
若求通解, 则需求出该微分方程的齐次线性微分方程形式的通解, 并相加
无穷级数
常数项级数
$$ \sum_{n=1}^{\infty} u_n = u_1+u_2+...+u_n+... $$常数项级数的审敛法
比较审敛法
设 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty}v_n$ 均为正项级数, 且 $u_n\le v_n(n=1,2,3,..)$
- 如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty}v_n$ 收敛,则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ 收敛
- 如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ 发散,则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}v_n$ 发散