微积分(下)
多元函数微分
二元函数的极限
$$ \lim_{x\to x_0 \ y\to y_0}f_{(x,y)}=A $$$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^2+y}=0 $$二元函数求偏导
$$ \frac{\partial z}{\partial x} =f_x(x,y)=\lim_{\triangle \to x_0}\frac{f(x_0+\triangle x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\triangle x} $$$$ \frac{\partial z}{\partial y} =f_y(x,y)=\lim_{\triangle \to y_0}\frac{f(x_0,y_0+\triangle y)-f(x_0,y_0)}{\triangle y} $$二元函数的二阶偏导数
$$ f_{xx}(x,y)=\frac{\partial^2z}{\partial x^2} $$$$ f_{xy}(x,y)=\frac{\partial^2z}{\partial x \partial y} $$$$ f_{yx}(x,y)=\frac{\partial^2z}{\partial y \partial x} $$$$ f_{yy}(x,y)=\frac{\partial^2z}{\partial y^2} $$全微分
$$ dz=\frac{\partial z}{\partial x}\ dx+\frac{\partial z}{\partial y}\ dy $$三元函数的全微分
$$ du=\frac{\partial u}{\partial x}\ dx+\frac{\partial u}{\partial y}\ dy+\frac{\partial u}{\partial z}\ dz $$隐函数求导公式
一元
$$ \frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y} $$二元
$$ \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z} $$$$ \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z} $$二重积分
$$ \iint\limits_{D}f(x,y)\ d\sigma $$二重积分的性质(部分)
-
如果在闭区域 $D$ 内，$f(x,y)=1$，那么有
$$ \iint\limits_{D}1\ dxdy=\iint\limits_{D}\ dxdy = S_D $$ -
二重积分比较 如果在闭区域 $D$ 内，有 $f(x,y)\le g(x,y)$ 那么
$$ \iint\limits_{D}f(x,y)\ dxdy \le \iint\limits_{g}f(x,y)\ dxdy $$ -
二重积分中值定理 设函数在$f(x,y)$在闭区间 $D$ 上连续
$$ \iint\limits_{D}f(x,y)\ d\sigma = f(\varepsilon,\eta)\sigma $$ -
设 $M$ 和$m$ 分别是 $f(x,y)$ 在闭区间 $D$ 上的最大值和最小值, $\sigma$ 是 $D$ 的面积, 那么
$$ m\sigma \le \iint\limits_{D}f(x,y)\ d\sigma \le M\sigma $$
二重积分的计算
$$ \iint\limits_{D}f(x,y)\ dxdy =\int_{a}^{b} \left [ \int_{\varphi _1(x)}^{\varphi _2{(x)}}f(x,y)\ dy\ \right ]\ dx $$X型积分区域
$$ \int_{a}^{b}\ dx \int_{\varphi _1(x)}^{\varphi _2{(x)}}f(x,y)\ dy $$Y型积分区域
$$ \int_{a}^{b}\ dy \int_{\psi _1(x)}^{\psi _2{(x)}}f(x,y)\ dx $$极坐标下的二重积分
基础公式
- $$ x^2+y^2=r^2 $$
- $$ x=r\cos \theta $$
- $$ y=r\sin\theta $$
- $$ dxdy=r\ drd\theta $$
极坐标下化二重积分为两次一重积分
-
极点在区域 $D$ 之外
$$ \int_a^bd\theta \int_{\varphi _1({\theta})}^{\varphi _2(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\ dr $$ -
极点在区域 $D$ 边界上
$$ \int_a^bd\theta \int_{0}^{\varphi _(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\ dr $$ -
极点在区域 $D$ 之内
$$ \int_a^{2\pi}d\theta \int_{0}^{\varphi _(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\ dr $$
微分方程
微分方程的基本概念
- 微分方程的解: 带入微分方程后能使方程成为恒等式的函数$y=f(x)$
- 微分方程的通解: 微分方程的解中含有任意常数$C$, 且任意常数 $C$ 的个数与微分方程的阶数相同
- 微分方程的特解: 确定了通解中任意常数 $C$ 之后的解
- 微分方程的阶: 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫做微分方程的解
一阶可分离变量的微分方程
-
分离变量, 把微分方程写成:
$$ g(y)\ dy = f(x)\ dx $$ -
等式两边同时积分
$$ \int g(y)\ dy = \int f(x)\ dx $$ -
求原函数写通解
$$ G(y)=F(x)+C $$
齐次微分方程
-
化成齐次微分方程的标准形式:
$$ \frac{dy}{dx}=f(\frac yx) $$ -
换元, 令 $u=\frac yx$ 则 $y=xu$ 两边同时求导得:
$$ \frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx} $$ -
带入上式得
$$ u+x\frac{du}{dx}=f{u} $$ -
分离变量
一阶齐次线性微分方程
$$ y=e^{-\int{p(x)\ dx}}\left [ \int Q(x)\ e^{\int p(x)\ dx} \right ] \ dx+C $$特别的, 若为一阶齐次线性微分方程, 则令上式中的 $Q(x)=0$ 即可, 得:
$$ y=Ce^{-\int p(x)\ dx} $$
二阶常系数齐次线性微分方程
定义
$$ y''+py'+qy=f(x) $$- f(x) 为自由项
当 $f(x)\ne0$ 时, 方程为二阶常系数非齐次线性微分方程
当 $f(x)=0$时, 方程为二阶常系数齐次微分方程
解二阶常系数齐次线性微分方程
- 方程 $y’’+py’+qy=0 \ \Rightarrow r^2+pr+q=0$
- 求特征根
- 查下表
| 特征方程 $r^2+pr+q=0$ 的两根 | 微分方程 $y’’+py’+qy=0$ 的通解 |
|---|---|
| $\Delta>0$ 两个不相等的实根 $r_1, r_2$ | $y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{{r_2}x}$ |
| $\Delta=0$ 两个相等的实根 $r_1=r_2$ | $y=(C_1+C_2x)e^{rx}$ |
| $\Delta<0$ 一堆共轭复根 | $y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2 \sin\beta x)$ |
特解 通解求导后带入原微分方程即可
二阶常系数非齐次线性微分方程
$f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)$ 型求特解的方法
特解形式为:
$$ y^*=e^{ax}Q_m(x)x^k $$- 求特征根 解特征方程 $r^2+pr+q=0$ 得到特征根
- 设特解为上式
- $Q_m(x)$ 按照 $P_m$ 来确定
- 若$P_m$为常数, 则$Q_m=A$
- 若$P_m$为最高一次, 则$Q_m=Ax+B$
- 若$P_m$为最高二次, 则$Q_m=Ax^2+Bx+C$
- 若$P_m$为最高三次, 则$Q_m=Ax^3+Bx^2+Cx+D$
- ..
- 定 $k$ 值 按照 $\lambda$ 的情况确定
- 若$\lambda$不是特征根, 即 $\lambda\ne r_1\ne r_2$, 则 $k=0$
- 若$\lambda$是特征单根,即 $\lambda=r$, 则 $k=1$
- 若$\lambda$是特征重根, 即 $\lambda=r_1=r_2$, 则 $k=2$
- 解待定系数 $A\ B\ C\ …$
- 带入原方程, 解得特解 $y^*$
若求通解, 则需求出该微分方程的齐次线性微分方程形式的通解, 并相加
$f(x)=e^{\lambda x}(P\cos \omega x+Q\sin\omega x) \ (P,Q\in R)$ 型求特解的方法
特解形式为:
$$ y^*=e^{\lambda x}(A\cos \omega x+B\sin \omega x)x^k $$- 求特征根 解特征方程 $r^2+pr+q=0$ 得到特征根
- 设特解为上式
- 定 $k$ 值 按照 $\lambda\pm \omega i$ 的情况确定
- 若 $\lambda\pm \omega i$ 不是特征根, 则 $k=0$
- 若 $\lambda\pm \omega i$ 是特征根, 则 $k=1$
- 解待定系数 $A\ B\ …$
- 带入原方程, 解得特解 $y^*$
若求通解, 则需求出该微分方程的齐次线性微分方程形式的通解, 并相加
无穷级数
常数项级数
$$ \sum_{n=1}^{\infty} u_n = u_1+u_2+...+u_n+... $$常数项级数的审敛法
比较审敛法
设 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty}v_n$ 均为正项级数, 且 $u_n\le v_n(n=1,2,3,..)$
- 如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty}v_n$ 收敛,则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ 收敛
- 如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ 发散,则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}v_n$ 发散