微积分(下)

多元函数微分

二元函数的极限

$$ \lim_{x\to x_0 \ y\to y_0}f_{(x,y)}=A $$$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^2+y}=0 $$

二元函数求偏导

$$ \frac{\partial z}{\partial x} =f_x(x,y)=\lim_{\triangle \to x_0}\frac{f(x_0+\triangle x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\triangle x} $$$$ \frac{\partial z}{\partial y} =f_y(x,y)=\lim_{\triangle \to y_0}\frac{f(x_0,y_0+\triangle y)-f(x_0,y_0)}{\triangle y} $$

二元函数的二阶偏导数

$$ f_{xx}(x,y)=\frac{\partial^2z}{\partial x^2} $$$$ f_{xy}(x,y)=\frac{\partial^2z}{\partial x \partial y} $$$$ f_{yx}(x,y)=\frac{\partial^2z}{\partial y \partial x} $$$$ f_{yy}(x,y)=\frac{\partial^2z}{\partial y^2} $$

全微分

$$ dz=\frac{\partial z}{\partial x}\ dx+\frac{\partial z}{\partial y}\ dy $$

三元函数的全微分

$$ du=\frac{\partial u}{\partial x}\ dx+\frac{\partial u}{\partial y}\ dy+\frac{\partial u}{\partial z}\ dz $$

隐函数求导公式

一元

$$ \frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y} $$

二元

$$ \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z} $$$$ \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z} $$

二重积分

$$ \iint\limits_{D}f(x,y)\ d\sigma $$

二重积分的性质(部分)

如果在闭区域 $D$ 内，$f(x,y)=1$，那么有
$$ \iint\limits_{D}1\ dxdy=\iint\limits_{D}\ dxdy = S_D $$
二重积分比较如果在闭区域 $D$ 内，有 $f(x,y)\le g(x,y)$ 那么
$$ \iint\limits_{D}f(x,y)\ dxdy \le \iint\limits_{g}f(x,y)\ dxdy $$
二重积分中值定理设函数在$f(x,y)$在闭区间 $D$ 上连续
$$ \iint\limits_{D}f(x,y)\ d\sigma = f(\varepsilon,\eta)\sigma $$
设 $M$ 和$m$ 分别是 $f(x,y)$ 在闭区间 $D$ 上的最大值和最小值, $\sigma$ 是 $D$ 的面积, 那么
$$ m\sigma \le \iint\limits_{D}f(x,y)\ d\sigma \le M\sigma $$

二重积分的计算

$$ \iint\limits_{D}f(x,y)\ dxdy =\int_{a}^{b} \left [ \int_{\varphi _1(x)}^{\varphi _2{(x)}}f(x,y)\ dy\ \right ]\ dx $$

X型积分区域

$$ \int_{a}^{b}\ dx \int_{\varphi _1(x)}^{\varphi _2{(x)}}f(x,y)\ dy $$

Y型积分区域

$$ \int_{a}^{b}\ dy \int_{\psi _1(x)}^{\psi _2{(x)}}f(x,y)\ dx $$

极坐标下的二重积分

基础公式

$$ x^2+y^2=r^2 $$
$$ x=r\cos \theta $$
$$ y=r\sin\theta $$
$$ dxdy=r\ drd\theta $$

极坐标下化二重积分为两次一重积分

极点在区域 $D$ 之外
$$ \int_a^bd\theta \int_{\varphi _1({\theta})}^{\varphi _2(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\ dr $$
极点在区域 $D$ 边界上
$$ \int_a^bd\theta \int_{0}^{\varphi _(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\ dr $$
极点在区域 $D$ 之内
$$ \int_a^{2\pi}d\theta \int_{0}^{\varphi _(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\ dr $$

微分方程

微分方程的基本概念

微分方程的解: 带入微分方程后能使方程成为恒等式的函数$y=f(x)$
微分方程的通解: 微分方程的解中含有任意常数$C$, 且任意常数 $C$ 的个数与微分方程的阶数相同
微分方程的特解: 确定了通解中任意常数 $C$ 之后的解
微分方程的阶: 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫做微分方程的解

一阶可分离变量的微分方程

分离变量, 把微分方程写成:
$$ g(y)\ dy = f(x)\ dx $$
等式两边同时积分
$$ \int g(y)\ dy = \int f(x)\ dx $$
求原函数写通解
$$ G(y)=F(x)+C $$

齐次微分方程

化成齐次微分方程的标准形式:
$$ \frac{dy}{dx}=f(\frac yx) $$
换元, 令 $u=\frac yx$ 则 $y=xu$ 两边同时求导得:
$$ \frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx} $$
带入上式得
$$ u+x\frac{du}{dx}=f{u} $$
分离变量

一阶齐次线性微分方程

$$ y=e^{-\int{p(x)\ dx}}\left [ \int Q(x)\ e^{\int p(x)\ dx} \right ] \ dx+C $$

特别的, 若为一阶齐次线性微分方程, 则令上式中的 $Q(x)=0$ 即可, 得:
$$ y=Ce^{-\int p(x)\ dx} $$

二阶常系数齐次线性微分方程

定义

$$ y''+py'+qy=f(x) $$

f(x) 为自由项

当 $f(x)\ne0$ 时, 方程为二阶常系数非齐次线性微分方程

当 $f(x)=0$时, 方程为二阶常系数齐次微分方程

解二阶常系数齐次线性微分方程

方程 $y’’+py’+qy=0 \ \Rightarrow r^2+pr+q=0$
求特征根
查下表

特征方程 $r^2+pr+q=0$ 的两根	微分方程 $y’’+py’+qy=0$ 的通解
$\Delta>0$ 两个不相等的实根 $r_1, r_2$	$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{{r_2}x}$
$\Delta=0$ 两个相等的实根 $r_1=r_2$	$y=(C_1+C_2x)e^{rx}$
$\Delta<0$ 一堆共轭复根	$y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2 \sin\beta x)$

特解通解求导后带入原微分方程即可

二阶常系数非齐次线性微分方程

$f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)$ 型求特解的方法

特解形式为:

$$ y^*=e^{ax}Q_m(x)x^k $$

求特征根解特征方程 $r^2+pr+q=0$ 得到特征根
设特解为上式
$Q_m(x)$ 按照 $P_m$ 来确定
1. 若$P_m$为常数, 则$Q_m=A$
2. 若$P_m$为最高一次, 则$Q_m=Ax+B$
3. 若$P_m$为最高二次, 则$Q_m=Ax^2+Bx+C$
4. 若$P_m$为最高三次, 则$Q_m=Ax^3+Bx^2+Cx+D$
5. ..
定 $k$ 值按照 $\lambda$ 的情况确定
1. 若$\lambda$不是特征根, 即 $\lambda\ne r_1\ne r_2$, 则 $k=0$
2. 若$\lambda$是特征单根,即 $\lambda=r$, 则 $k=1$
3. 若$\lambda$是特征重根, 即 $\lambda=r_1=r_2$, 则 $k=2$
解待定系数 $A\ B\ C\ …$
带入原方程, 解得特解 $y^*$

若求通解, 则需求出该微分方程的齐次线性微分方程形式的通解, 并相加

$f(x)=e^{\lambda x}(P\cos \omega x+Q\sin\omega x) \ (P,Q\in R)$ 型求特解的方法

特解形式为:

$$ y^*=e^{\lambda x}(A\cos \omega x+B\sin \omega x)x^k $$

求特征根解特征方程 $r^2+pr+q=0$ 得到特征根
设特解为上式
定 $k$ 值按照 $\lambda\pm \omega i$ 的情况确定
1. 若 $\lambda\pm \omega i$ 不是特征根, 则 $k=0$
2. 若 $\lambda\pm \omega i$ 是特征根, 则 $k=1$
解待定系数 $A\ B\ …$
带入原方程, 解得特解 $y^*$

若求通解, 则需求出该微分方程的齐次线性微分方程形式的通解, 并相加

无穷级数

常数项级数

$$ \sum_{n=1}^{\infty} u_n = u_1+u_2+...+u_n+... \ (u_n > 0) $$

常数项级数的审敛法

优先级从上到下

发散定理

当 $\lim u_n \to 0$ 不成立, 则级数发散

根值审敛法

设 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 是一个正项级数, 如果 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} = \rho$, 则有

当 $\rho < 1$ 时, 级数收敛
当 $\rho > 1$ 或 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} = +\infty$ 时, 级数发散
当 $\rho = 1$ 时, 无法判断

比值审敛法

设 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 是一个正项级数, 如果 $\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \rho$

当 $\rho < 1$ 时, 级数收敛
当 $\rho > 1$ 或 $\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = +\infty$ 时, 级数发散
当 $\rho = 1$ 时, 无法判断

比较审敛法(极限形式)

设 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty}v_n$ 均为正项级数, 且 $\lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = A$

若 $0<A<+\infty$ , 则 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty}v_n$ 有相同的敛散性
若 $A=0$ , 且 $\sum_{n=1}^{\infty}v_n$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ 也收敛
若 $A=+\infty$ , 且 $\sum_{n=1}^{\infty}v_n$ 发散, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ 发散

可以使用等价无穷小替换的方式来选择 $v_n$

或者选择抓大头的方式来选择 $v_n$

比较审敛法

设 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty}v_n$ 均为正项级数, 且 $u_n\le v_n(n=1,2,3,..)$

如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty}v_n$ 收敛,则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ 收敛
如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ 发散,则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}v_n$ 发散

大收则小收，小发则大发

交错级数的审敛法(莱布尼兹判别法)

如果交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n-1 \ u_n$ 满足

$u_n \ge u_{n+1} \ (n = 1, 2, 3, …)$
$\lim_{n \to \infty} u_n = 0$

则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n-1 \ u_n$ 收敛

绝对收敛与条件收敛

设级数

$$ \sum_{n=1}^{\infty} u_n = u_1+u_2+...+u_n+... $$

其中 $u_n \in R$ , 则称该级数为任意项级数

对于任意项级数 $u_n$

如果 $\sum_{n=1}^{\infty} |u_n| $ 收敛, 则称 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n $ 绝对收敛

如果 $\sum_{n=1}^{\infty} |u_n|$ 发散, 而级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n $ 收敛，则称级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n $ 条件收敛

如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n $ 绝对收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n $ 一定收敛

幂级数

形如

$$ \sum_{n=1}^{\infty} a_nx^n = a_0 +a_1x + a_2 x^2 + ... + a_nx^n + ... $$

此时称级数为 $x$ 的幂级数

幂级数的敛散性

对于幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_nx^n$ , 设 $\lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \rho$ , 该级数的收敛半径为 $R$ ，则

若 $\rho \ne 0$ , 则 $R = \frac1 {\rho}$
若 $\rho=0$, 则 $R=+\infty$
若 $\rho = +\infty$ , 则 $R=0$

上述的正数 $R$ 成为幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_nx^n$ 的收敛半径，开区间 $(-R, R)$ 成为称为幂级数的收敛区间 ，由收敛区间及幂级数在 $x\in \pm R$ 处的敛散性就可以得到幂级数的收敛域

幂级数收敛区间的判别方式

不缺项情形：

使用比值判别法(不包括 $x$)

$\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \rho$

缺项情形：

直接法

适用于$\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x-k)^n$ 、 $\sum_{n=1}^{\infty} a_nx^{2n}$、 $\sum_{n=1}^{\infty} a_nx^{2n-1}$ 等(通用)

令 $\lim_{n\to \infty} \left | \frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)} \right | \ < \ 1$ , 后解出收敛半径及收敛区间
公式法

适用于$\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x-k)^n$ 、 $\sum_{n=1}^{\infty} a_nx^{2n}$ 等

换元，令 $t=x-k$, $t=x^2$, 求出 $t$ 的收敛半径，再进行变量回代求出原级数的收敛半径和收敛区间

幂级数的性质

四则运算

设幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_nx^n$ 在收敛区间 $(-R_1, R_1), (R_1>0)$ 内的和函数为 $S_1(x)$ , 幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_nx^n$ 在收敛区间 $(-R_2, R_2), (R_2>0)$ 内的和函数为 $S_2(x)$ , 取 $R=min{R_1, \ R_2}$ 作为收敛半径

幂级数的和函数的性质

设幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_nx^n$ 在收敛区间 $(-R, R), (R>0)$ 内的和函数为 $S(x)$ , 则

$S(x)$ 在其收敛域上连续, 当 $x_0 \in (-R, \ R)$ 时, 有
$$ \lim_{x\to x_0}(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n)=\sum_{n=0}^{\infty}(\lim_{x\to x_0}a_nx^n)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=S(x_0) $$
逐项求导收敛区间 $(-R, R)$
$$ S'(x)=(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n)'=\sum_{n=0}^{\infty}(a_nx^n)'=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1} $$
逐项积分收敛区间 $(-R, R)$
$$ \int_0^x S(t)\ dt = \int_0^x (\sum_{n=0}^\infty a_nt^n)\ dt = \sum_{n=0}^\infty(\int_0^x a_nt^n\ dt) = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}x^{n+1} $$

求和函数方法:

求级数收敛域

根据 $a_n$ 的情况先进行求导或积分

转换成等比求和公式形式进行求和

反过来进行积分或求导

写出最后的结果(要写出 $x$ 的范围)

常用展开式

指数函数
$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}, \quad x \in (-\infty, +\infty)$$
正弦函数
$$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \quad x \in (-\infty, +\infty)$$
几何级数 (1)
$$\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n, \quad x \in (-1, 1)$$
几何级数 (2)
$$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n, \quad x \in (-1, 1)$$
对数函数
$$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n, \quad x \in (-1, 1]$$

$$\frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}, \quad x \in (-1, 1)$$

余弦函数
$$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}, \quad x \in (-\infty, +\infty)$$
反正切函数
$$\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}, \quad x \in [-1, 1]$$
一般指数函数
$$a^x = e^{x \ln a} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\ln a)^n}{n!}x^n, \quad x \in (-\infty, +\infty)$$