微积分(上)

函数

基本初等函数图像(一)

一次函数 $ y = kx+b \ (k \ne 0)$ [绿]

• $k$ 斜率
• $b$ 截距

二次函数 $y = ax^{2} + bx + c \ (a \ne 0)$ [紫]

• $a$ 二次项系数 控制了二次函数从顶点的增长(或下降)速度，即二次函数开口方向和大小。$\displaystyle |a|$ 越大，开口越小，函数就增长得越快。以及抛物线的对称轴(顶点x的坐标)
• $b$ 一次项系数 控制了抛物线的对称轴(顶点x的坐标)。以及控制了抛物线穿过 $\displaystyle y$ 轴时的倾斜度
• $c$ 常数项 控制了抛物线最低点或最高点的高度，它是抛物线与 $\displaystyle y$ 轴的交点

其中，方程 $ax^{2} + bx + c \ (a \ne 0) = 0$ 的解即为函数的与 $x$ 轴的交点

三次函数 $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d \ (a \ne 0)$ [红]

反比例函数 $y = \frac{k}{x} \ (x \ne 0) $ [蓝]

• $k > 0$ 反比例函数的图像在第一、三象限
• $k < 0$ 反比例函数的图像在第二、四象限

基本初等函数图像(二)

幂函数 $y = x^{\mu} \ (\mu \in R)$

• $\mu > 0$ 函数图像在第一象限，单调递增 [红] [紫]
• $\mu < 0$ 函数图像在第一象限，单调递减 [蓝] [绿]
• $\mu \ne 0$ 无界函数

基本初等函数(三)

指数函数 $y = a ^ {x} \ (a > 0, a \ne 1)$

定义域 $(-\infty ,+\infty )$ 值域 $(0, +\infty )$ 且函数图像都经过点$(0, 1)$

奇偶性: 非奇非偶

• $a > 1$ 函数单调递增 [红]
• $0 < a < 1$ 函数单调递减 [绿]

指数相关公式

0的正分数指数幂是0. 0的负分数指数幂无意义

对数函数 $y = \log_{a}{x} (a > 0, a \ne 1)$

定义域 $(0, +\infty )$ 值域 $(-\infty ,+\infty )$ 且函数图像都经过点$(1, 0)$

奇偶性: 非奇非偶

• $a > 1$ 函数单调递增 [红]
• $0 < a < 1$ 函数单调递减 [绿]

对数相关公式

$e = 2.71828…$

$\log_{10}N \Longleftrightarrow \lg N$

$\log_{e}N \Longleftrightarrow \ln N$

在上式中，当$c=b$时，有$\log_ab=\frac1{log_ba}$

基本初等函数(四)

正弦函数 $y = \sin x$ [红]

余弦函数 $y = \cos x$ [蓝]

正切函数 $y = \tan x$ [绿]

其他三角函数

基本关系

三角恒等变换

此处非全部公式 仅仅列举部分公式

常用三角函数值

基本初等函数(五)

常用反三角函数值

极限

两个重要极限

常用等价无穷小

前提条件: 当$x\to0$时

1. $$ \sin x\sim x $$
2. $$ \tan x \sim x $$
3. $$ \arcsin x \sim x $$
4. $$ \arctan x \sim x $$
5. $$ e^x-1\sim x $$
6. $$ a^x-1\sim x\ln a\ (a>0,a\ne1) $$
7. $$ \ln{(1+x)}\sim x $$
8. $$ \log_a{(1+x)}\sim \frac x{\ln a}\ (a>0,a\ne1) $$
9. $$ (1+x)^a-1\sim ax $$
10. $$ \sqrt[n]{1+x}-1\sim \frac xn $$
11. $$ 1-\cos x \sim \frac {x^2}2 $$

无穷小量阶比较

求极限基础10法

连续

连续的充要条件

1. 函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的某一邻域内有定义;
2. 极限 $\lim_{x \to x_0}\ f(x)$ 存在;
3. $\lim_{x \to x_0} \ f(x)$ 恰好等于 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的函数值，也就是 $\lim_{x \to x_0}\ f(x) = \ f(x_0)$
4. 函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处左连且右连续

1. 函数在一点处连续，则在该点处必有极限。但是有极限不一定连续
2. 函数在一点处连续，则在该点处必有定义。但是有定义不一定连续
3. 若函数可导，则函数一定连续；但是连续不一定可导
4. 不连续一定不可导，不可导一定不连续

间断点的分类

1. 第一类间断点: 若 $x=x_0$ 是函数 $f(x)$ 的间断点，且左极限 $\lim_{x \to {x_0^-}} f(x)$ 和右极限 $\lim_{x \to {x_0^+}} f(x)$ 都存在，那么 $x=x_0$ 成为函数的第一类间断点
   1. 若 $\lim_{x \to x_{0}^-} f(x) \ = \ \lim_{x \to x_{0}^+} f(x)$ ，即 $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在，则称 $x=x_0$ 为 $f(x)$ 的可去间断点
   2. 若 $\lim_{x \to x_{0}^-} f(x) \ \ne \ \lim_{x \to x_{0}^+} f(x)$ ，则称 $x=x_0$ 为 $f(x)$ 的跳跃间断点
2. 第二类间断点: 不是第一类间断点的任何间断点，成为第二类间断点
   1. 若 $x=x_0$ 为函数 $f(x)$ 的间断点，且当 $x \to x_0$ 时，函数 $f(x) \to \infty$ ，则称 $x=x_0$ 为函数 $f(x)$ 的无穷间断点
   2. 若 $x=x_0$ 为函数 $f(x)$ 的间断点，且当 $x \to x_0$ 时，函数极限不存在，呈上下震荡状态，则称 $x=x_0$ 为函数 $f(x)$ 的振荡间断点

闭区间上连续函数的性质

最大最小值定理

如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则函数在闭区间 $[a,b]$ 上必定取得最大值和最小值

有界性

若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上必有界

介值定理

设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且在这个区间的端点处取不同的函数值 $f(a)=A$ 及 $f(b) = B$，则对于 $A$ 和 $B$ 之间的任意一个数 $C$ ，在开区间 $(a,b)$ 内至少有一点 $\xi \in (a,b)$ ，使得 $f(\xi) = \mu$

设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，$M$ 和 $m$ 分别是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值和最小值，则对于满足 $m<\mu<M$ 的任何实数 $\mu$ , 至少有一点 $\xi \in (a,b)$ ，使得 $f(\xi) = \mu$

零点定理

若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)$ 与 $f(b)$ 异号，即 $f(a) \cdot f(b) < 0$ ，则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$ ，使得 $f(\xi)=0$

导数与微分

也可以记作

$$ y'|x=x0 \Leftrightarrow \frac {dy} {dx}|x = x_0 \Leftrightarrow \frac{df(x)}{dx}|x = x_0 $$

要注意导数定义的严格形式，3个 $x_0$ 要对应，3个 $h$ 也要对应

基本导数公式

1. 常数

   $$ C' = 0 \ (C \in R) $$

2. 幂函数

   $$ (x^n)'=nx^{n-1}\ (n\in R) $$

3. 对数函数

   $$ {\log_ax}'=\frac1{x\ln a} \ (a>0,a\ne1) $$$$ (\ln x)'=\frac1 x $$

4. 指数函数

   $$ (a^x)'=a^x\ln a \ (a>0,a\ne1) $$$$ (e^x)'=e^x $$

5. 三角函数

   $$ (\sin x)'=\cos x $$$$ (\cos x)'=-\sin x $$$$ (\tan x)'=\frac1{\cos^2x}=\sec^2x $$$$ (\sec x)'=(\frac1{\cos x})' = \sec x\tan x $$$$ (\cot x)'=\frac1{\tan x}=-\frac1{\sin^2x}=-\csc^2x $$$$ (\csc x)'=(\frac1{\sin x})'=-\csc x\cot x $$

6. 反三角函数

   $$ (\arcsin x)'=\frac1{\sqrt{1-x^2}} $$$$ (\arccos x)'=-\frac1{\sqrt{1-x^2}} $$$$ (\arctan x)'=\frac1{1+x^2} $$$$ (\arccot x)'=-\frac1{1+x^2} $$

7. 参数方程求导

8. 幂指函数求导 (对数求导法)

导数的四则运算

1. $$ [u_{(x)}\pm v_{(x)}]'=u'_{(x)}\pm v'_{(x)} $$
2. $$ [Cu_{(x)}]'=Cu'_{(x)}\ (C \in R) $$
3. $$ [u_{(x)}v_{(x)}]'=u'_{(x)}v_{(x)}+u_{(x)}v'_{(x)} $$
4. $$ [\frac{u_{(x)}}{v_{(x)}}]'=\frac{u'_{(x)}v_{(x)}-u_{(x)}v'_{(x)}}{v^2_{(x)}} \ (v_{(x)}\ne 0) $$

高阶导数公式

1. 幂函数

   $$ (x^m)^{(n)}=\frac{m!}{(m-n)!}x^{m-n} \ (m>n,\ mn\in N^*) $$$$ (x^m)^{(n)}=0\ (m

2. 指数函数

   $$ (a^x)^{(n)}=a^x\cdot \ln^na \ (a>0,\ a\ne1) $$

3. 对数函数

   $$ [\ln(x+a)]^{(n)}=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(x+a)^n} $$

4. 三角函数

   $$ (\sin x)^{(n)}=\sin(x+\frac{n\pi}2) $$$$ (\cos x)^{(n)}=\cos(x+\frac{n\pi}2) $$

直线方程

• 法线方程

  $$ y-y_0=-\frac1{f'(x_0)}(x-x_0) $$

• 切线方程

  $$ y-y_0=f'(x_0)(x-x_0) $$

导数的应用

罗尔中值 (Rolle) 定理

如果函数 $y = f(x)$ 满足以下条件:

1. 在闭区间 $[a,b]$ 上连续
2. 在开区间 $(a,b)$ 上可导
3. $f(a) = f(b)$

则在开区间 $(a,b)$ 上至少存在一点 $\xi$ , 使得 $f’(\xi) = 0$

• 判断是否满足条件: 使用排除法排除

• 证明方程是否有实根: 可以先用零点定义, 若失效再使用罗尔中值定理. 标准答题格式如下:

  构造函数 $F(x) =\ …$ 显然 $F(x)$ 在 [闭区间] 上连续, 在 (开区间) 内可导. 且 $F(left) = F(right)\ F’(x) =\ …$ . 所以 $F(x)$ 在[闭区间] 上满足罗尔中值定理条件. 故在 (开区间) 上至少存在一点 $\xi$ 使得 $F’(\xi)=0$. 即 题目的要求

拉格朗日 (Lagrange) 中值定理

如果函数 $y = f(x)$ 满足以下条件:

1. 在闭区间 $[a,b]$ 上连续
2. 在开区间 $(a,b)$ 上可导

则在开区间 $(a,b)$ 上至少存在一点 $\xi$ , 使 $f(b)-f(a)=f’(\xi)(b-a)$ 或是 $f’(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . 即两端点的函数差减去两端点的差等于两端点连线的斜率.

• 判断是否是否满足拉格朗日中值定理条件:

  1. 在闭区间 $[a,b]$ 上连续可以通过研究 $f(x)$ 的定义域, 找间断点来判断
  2. 在开区间 $(a,b)$ 内可导可以通过求导, 查看切线的斜率找间断点

• 求 $\xi$ 的值:

  利用 $f’(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 来求解

• 证明双边不等式: 标准答题格式如下:

  构造函数 $f(x)=\ …$ (通常为不等式中间的函数). 显然该函数在 [闭区间] 上连续,在 (开区间) 内可导. 所以 $f(x)$ 在 [闭区间] 上满足拉格朗日中值定理. 故在 (开区间) 上至少存在一点 $\xi$ 使得 $f’(\xi) = \ …$ (然后将两端点处的函数差转化为含有 $\xi$ 的式子) 因为 $left < \xi < right$ , 所以上式与左右两边重新构建的不等式成立

函数的单调性

设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 在 $(a,b)$ 上可导:

1. 若 $f’(x) \ge 0$ , 则函数在 $(a,b)$ 内单调递增
2. 若 $f’(x) \le 0$ , 则函数在 $(a,b)$ 内单调递减

其中 $f’(x)=0$ 的点为函数的驻点

函数的极值

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的某邻域内有定义:

1. 若 $f(x) < f(x_0) $ , 则称 $f(x_0)$ 为函数 $f(x)$ 的极大值, 其中 $x=x_0$ 为函数的极大值点
2. 若 $f(x) > f(x_0) $ , 则称 $f(x_0)$ 为函数 $f(x)$ 的极小值, 其中 $x=x_0$ 为函数的极小值点

方法1:

1. 求 $f(x)$ 的定义域 (重要!)
2. 求 $f’(x)$
3. 求 $f’(x)=0$ 和 $f’(x)$ 不存在的点
4. 将上述的点分为若干区间, 并讨论 $f’(x)$ 的正负

方法2: (若 $f’(x) = 0$ 的情况)

1. 求 $f’’(x)$
2. 依然求 $f’’(x)=0$ 和 $f’’(x)$ 不存在的点
3. 若 $f’’(x_0)>0$ , 则为极小值. 若 $f’’(x_0)<0$ , 则为极大值

函数的最值

设函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续且只有一个极值点 $x_0$:

若 $x=x_0$ 为极大值点, 则为该区间内的最大值

若 $x=x_0$ 为极小值点, 则为该区间内的最小值

1. 求 $f’(x)$ , 找出 $f’(x)=0$ 的点和 $f(x)$ 不存在的点
2. 求这些点的函数值以及端点处的函数值
3. 比较这些值, 最大的值就是最大值, 最小的就是最小值

曲线的凹凸性及拐点

设函数 $y=f(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导:

若曲线 $y=f(x)$ 在 $(a,b)$ 内任意点的切线总位于曲线下方,则称曲线 $y=f(x)$ 在 $(a,b)$ 内是凹的

若曲线 $y=f(x)$ 在 $(a,b)$ 内任意点的切线总位于曲线上方,则称曲线 $y=f(x)$ 在 $(a,b)$ 内是凸的

连续曲线凹与凸的分界点称为曲线的拐点

曲线拐点的表示方为 $(x_0,y_0)$

1. 求函数 $f(x)$ 的定义域
2. 求二阶导数 $f’’(x)$
3. 求 $f’’(x)=0$ 和 $f’’(x)$ 不存在的点
4. 以这些点分成若干区间, 讨论 $f’’(x)$ 在各区间内的符号, 从而确定

曲线的渐近线

1. 水平渐近线 $lim_{x\to \infty}\ f(x)=A$ , 则 $y=A$ 为水平渐近线
2. 垂直渐近线 $lim_{x\to x_0}\ f(x)=x_0$ , 则 $x=x_0$ 为垂直渐近线

$x_0$ 为不满足定义域的点

不定积分

原函数

设 $f(x)$ 是定义在区间 $I$ 上的函数, 如果存在而看到函数 $F(x)$ , 使得

就称函数 $F(x)$ 为 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的一个原函数

判断在区间 $I$ 上的两个函数 $F(x)$ 和 $G(x)$ 是同一函数的原函数的方法有两种:

1. 作差: $F(x)-G(x)$ , 结果为常数
2. 各自求导, 结果满足 $F’(x)=G’(x)$

基本积分公式

1. 常数

   $$ \int k \ dx=kx+C\ (k\in R) $$

2. 幂函数

   $$ \int x^n\ dx = \frac{x^n+1}{n+1}+C\ (n\ne -1) $$

3. 反比例函数

   $$ \int \frac1x\ dx = \ln\left | x \right | +C $$

4. 指数函数

   $$ \int e^x\ dx = e^x+C $$$$ \int a^x\ dx = \frac{a^x}{\ln a}+C\ (a>0,\ a\ne1) $$

5. 三角函数

   $$ \int \cos x \ dx = \sin x+C $$$$ \int \sin x \ dx=-\cos x+C $$$$ \int \frac1{\sqrt{1-x^2}}\ dx=\arcsin x+C $$$$ \int - \frac1{\sqrt{1-x^2}}\ dx = \arccos x+C $$$$ \int \frac1{1+x^2}\ dx = \arctan x+C $$$$ \int - \frac1{1+x^2}\ dx=\arccot x+C $$$$ \int \frac1{cos^2x}\ dx=\int \sec^2 x\ dx=\tan x +C $$$$ \int \frac1{\sin^2x}\ dx=\int \csc^2x\ dx = -\cot x+C $$$$ \int \sec x\tan x \ dx=\sec x+C $$$$ \int\csc x \cot x\ dx = -\csc x+C $$$$ \int \tan x \ dx= -\ln|\cos x|+C $$

不定积分的性质

换元法求积分

三角代换

1. 弦代换

   $$ \sqrt{a^2-x^2}\Rightarrow x=a\sin t\Rightarrow a\cos t $$

2. 切代换

   $$ \sqrt{a^2+x^2}\Rightarrow x=a\tan t\Rightarrow a\sec t $$

3. 割代换

   $$ \sqrt{x^2-a^2}\Rightarrow x=a\sec t\Rightarrow a\tan t $$

分部积分公式

选 $u$ : 反函数 > 对数 > 幂函数 > 指数函数 >= 三角函数

定积分

牛顿-莱布尼兹公式(微积分基本定理)

前提条件: 函数$f_{(x)}$在 $[a,b]$ 上连续

定积分的性质(部分)

1. $$ \int_{a}^{b} 1\ dx=b-a $$

2. 在区间$[a,b]$上:

   $$ f(x)\ dx \ge 0\ (a< b) $$

3. 定积分中值定理 设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续

   $$ \int_{a}^{b}f(x)\ dx = f(\xi) \cdot(b-a)\ (a\le\xi\le b) $$

4. 当连续函数$f_{(x)}$为偶函数时:

   $$ \int_{-a}^{a}f(x)\ dx=2\int_0^af(x)\ dx $$

5. 当连续函数$f_{(x)}$为奇函数时:

   $$ \int_{-a}^{a}f(x)\ dx=0 $$

定积分的几何意义

1. $\int_{-a}^{a} \sqrt{a^2-x^2}\ dx \ (a>0)$ 表示的是以原点为圆心, 以 $a$ 为半径的圆在 $x$ 轴上方部分的面积, 故

   $$ \int_{-a}^{a} \ \sqrt{a^2-x^2}\ dx = \frac\pi 2 a^2 $$

2. $\int_{a}^{0} \sqrt{a^2-x^2}\ dx \ (a>0)$ 表示的是以原点为圆心, 以 $a$ 为半径的圆在第一象限部分的面积, 故

   $$ \int_{a}^{0} \ \sqrt{a^2-x^2}\ dx = \frac\pi 4 a^2 $$

变上限积分函数

如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续, 则变上限积分函数

在 $[a,b]$ 上可导, 并且它的导数

上限带入上限导 - 下限带入下限导

定积分的换元积分法

注意:

1. 换元必换上下限. 通过带入 $x$ 的值求出上下限
2. 求出原函数后不需要变量回代

反常积分

若右边极限存在, 则称广义积分 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \ dx$ 收敛, 该极限的值即为广义积分的值.

若极限不存在, 则 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \ dx$ 没有意义, 称作 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \ dx$ 发散

可以使用微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式)来判断反常积分的敛散性

定积分的应用

求平面图形的面积

1. 画草图
2. 联立方程组求交点坐标
3. 根据图像列定积分式

面积肯定是正的, 因此要用大的函数减去小的函数

积分变量 $x$ 和 $y$ 分别代表上减下和右减左

求旋转体体积

1. 画草图
2. 联立方程组求交点坐标
3. 根据图像列定积分式

如果绕 $x$ 轴旋转, 积分变量为 $x$

如果绕 $y$ 轴旋转, 积分变量为 $y$