线性代数

行列式

二阶三阶行列式

二阶行列式

计算方式: 主对角线相乘 - 副对角线相乘 (对角线法则)

三阶行列式

计算方式: 主对角线相乘 - 副对角线相乘

n 阶行列式

上三角行列式

计算方式: 主对角线相乘

下三角行列式

计算方式: 主对角线相乘

对角行列式

计算方式: 主对角线相乘

行列式的性质

1. 行列式与它的转置行列式相等

2. 行列式的某两行(列)互换, 行列式要变号

3. 可以用用非零常数 $k$ 乘以行列式的某一列

4. 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数 $k$ 然后加到另一行(列)所对应的元素上, 行列式的值不变

5. 行列式的某一列(行)的元素都是两个数相加之和等于拆开之和

推论1 如果行列式有两行(列)完全相同, 则此行列式的值为 0

推论2 行列式如果有两行(列)元素成比例, 则此行列式的值为 0

推论3 行列式中如果有一行(列)元素全为 0 , 则此行列式的值为0

拉普拉斯展开定理

设 $B = (b_{ij})$ 是一个$n × n$矩阵。$B$ 关于第 $i$ 行第 $j$ 列的余子式 $M_{ij}$ 是指 $B$ 中去掉第 $i$ 行第 $j$ 列后得到的 $n-1$ 阶子矩阵的行列式。有时可以简称为 $B$ 的 $(i, \ j)$ 余子式。$B$ 的$(i, \ j)$ 代数余子式：$C_{ij}$ 是指 $B$ 的$(i, \ j)$ 余子式 $M_{ij}$ 与 $(−1)i + j$ 的乘积：$C_{ij} = (−1)i + j \ M_{ij}$

余子式

有行列式 $ \left| \begin{array}{ccc} a_{11}&a_{12}&a_{13}\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array} \right| $ 划去元素 $a_{mn}$ 所在的行和列, 剩下的元素按照原来的次序构成的一个二阶行列式 $ \left| \begin{array}{ll} a_{11}&a_{12}\ a_{21}&a_{22}\end{array} \right| $ ,称为元素 $a_{mn}$ 的余子式, 记作 $M_{mn}$

代数余子式

$ \left| \begin{array}{ll} a_{11}&a_{12}\ a_{21}&a_{22}\end{array} \right| $ ,称为元素 $a_{mn}$ 的余子式, 记作 $M_{mn}$ ; 则 $A _ { m n } = ( - 1 ) ^ { m + n } M _ { m n }$为元素 $a_{mn}$ 的代数余子式

克莱姆法则

当上式中 $b_1, b_2, … , b_n$ 不全为 $0$ 时, 称方程为非齐次线性方程组. 若全为 $0$ 则称方程为齐次线性方程组

如果线性方程组的系数行列式 $D \ne 0$ , 则方程组有且只有唯一解: $X _ { 1 } = \frac { D _ { 1 } } { D } , X _ { 2 } = \frac { D _ { 2 } } { D } \cdots , X _ { n } = \frac { D _ { n } } { D }$ . 其中 $D_j \ (j \in N^*) $ 是把系数行列式 $D$ 中的第 $j$ 列的元素以此用方程组右端的常数 $b_1, b_2, … , b_n$ 组成的列代替后得到的 $n$ 阶行列式. 例如:

矩阵

由 $m × n$ 个数 $a_{ij}, \ (i,\ j \in N^+)$ 排成的 $m$ 行 $n$ 列矩形数表叫做 $m × n$ 矩阵. 记作 $A = (a_{ij}){m×n}$ . 其中 $a{ij}$ 为矩阵第 $i$ 行第 $j$ 列的元素. 其可以是数也可以是代数式

特殊矩阵

1. 行矩阵 行数为 1 的矩阵, 也成为行向量. 例如 $A = [a_1, a_2 \cdots a_n]$
2. 列矩阵 列数为 1 的矩阵, 也成为列向量. 例如 $A = [a_1, a_2, \dots, a_n]$
3. $n$阶方阵 行与列都等于 $n$ 的矩阵
4. 单位矩阵 主对角线元素全为 1 同时其余元素全为 0 的 $n$ 阶方阵. 例如 $E = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
5. 对称矩阵 有 $n$ 阶方阵 $A$ , 若 $A^T = A$ , 则称 $A$ 为对称矩阵. 即 $A_{ij}=A_{ji}, \ i \ne j$
6. 反对称矩阵 有 $n$ 阶方阵 $A$ , 若 $A^T = -A$ , 则称 $A$ 为反对称矩阵
7. 零矩阵 元素全为 0 的矩阵, 记作 $O$ . 例如 $O = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $
8. 同型矩阵 两个矩阵行 列都相等. 则称这两个矩阵为同型矩阵
9. 上/下三角矩阵 主对角线上/下方全为 0 的矩阵

矩阵的计算

加减

1. 判断矩阵是否为同型矩阵
2. 对应元素相加减

矩阵加减满足以下运算律:

1. 交换律 $A \pm B = B \pm A$
2. 结合律 $A \pm B \pm C = (A \pm B) \pm C$
3. $A \pm O = A;$
4. $A + (-A) = O$

数乘

用数 $k$ 乘以矩阵的每一个元素, 记作 $kA$

乘法

设 $A = (a_{ik}){m \times s}$ 是一个 $m \times s$ 矩阵, $B= (b{kj}){s \times n}$ 矩阵, 则规定矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 的乘积是一个 $m \times n$ 矩阵 $C = (C{ij})_{m \times n}$ , 其中

矩阵 $C$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素等于矩阵 $A$ 的第 $i$ 行各元素与矩阵 $B$ 的第 $j$ 列对应元素乘积的和, 并且矩阵 $C$ 的行数等于矩阵 $A$ 的列数, 矩阵 $C$ 的列数等于矩阵 $B$ 的列数. 记作 $C=AB$

矩阵乘法满足一下运算律:

1. 结合律 $(AB)C = A(BC)$
2. 分配律 $(A+B)C = AC + BC，\ A(B+C) = AB + AC$
3. 数与矩阵乘积的结合律 $k(AB) = (kA)B = A(kB)$ 其中 $k \in R$
4. $AE=A ; \ EA=A$

矩阵乘法不满足交换律!!!

方阵的幂

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵, $k \in N^+$ , 则称 $A^k = \underbrace{AA \cdots A}_{k}$

若约定 $A^0 = E$ , 则 $\forall \ k$ 和 $l \in N^+$ 都有 $A^kA^l = A^{k+l}$

对于任意的对角矩阵, 只需要将对角线上的元素乘以 $k$ 即可 $A = \begin{bmatrix} a_{11} & 0 \ 0 & a_{22} \end{bmatrix}, \ A^3 = \begin{bmatrix} a_{11}^3 & 0 \ 0 & a_{22}^3 \end{bmatrix}$

矩阵的转置

由 $n$ 阶方阵 $A=(a_ij)_{m\times n}$ 的所有行和列互换后得到的矩阵, 称为矩阵 $A$ 的转置矩阵. 记作 $A^T$

1. $(A^T)^T = A$
2. $(A+B)^T=A^T+B^T$
3. $(kA)^T=kA^T\ (k \in R)$
4. $(AB)^T = B^TA^T$

矩阵的行列式

由 $n$ 阶方阵 $A=(a_ij)_{m\times m}$ 的元素按原来的位置所构成的行列式称为 $A$ 的行列式, 记作 $\begin{vmatrix} A \end{vmatrix} \ (\det A)$

1. $|A^T| = |A|$
2. $|kA| = k^n|A|$ ( $k$ 为公因式, $n$ 为行列式的值)
3. $|AB| = |A||B|$
4. $|A|^k = |A^k|$

逆矩阵

对于 $n$ 阶方阵 $A$ , 若存在一个 $n$ 阶方阵 $B$ , 且满足 $AB=BA=E$ . 则称矩阵可逆. 且 $A^{-1} = B$

逆矩阵的性质

1. 若 $A$ 可逆, 则 $A^{-1}$ 也可逆. 且 $(A^{-1})^{-1}=A$
2. 若 $A$ 可逆, 数 $k \ne 0$ , 则 $kA$ 也可逆. 且 $kA^{-1}=\frac1{k}{A^{-1}}$
3. 若 $A, \ B$ 为同阶矩阵且均可逆, 则 $AB$ 可逆. 且 $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

推论1 矩阵乘法一般不满足交换律, 但若 $A$ 可逆, 则有 $AB=BA=E$ . 此时可使用交换律

推论2 通过 $AB=O$ 一般不能推出 $A=O$ 或 $B=O$ . 但若 $A$ 可逆, 则 $AB=O \ \Rightarrow \ B=O$

推论3 通过 $AB=AC$ 一般不能推出 $B=C$ . 但若 $A$ 可逆, 则 $AB=AC \ \Rightarrow \ B=C$

矩阵求逆

矩阵可逆的充要条件是 $|A| \ne 0$

1. 公式法

   $$ A^{-1} = \frac{A^*}{|A|} $$

2. 初等变换

$A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵.

求二阶伴随矩阵: 主对调, 副变号

$$ A = \begin{bmatrix} a & c \\ d & b \end{bmatrix}, \quad A^* = \begin{bmatrix} b & -c \\ -d & a \end{bmatrix} $$

初等变换

矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换.

矩阵的初等列变换不常用. 故本文章不会写相关内容

初等行变换

1. 对换变换: 矩阵的两行互换
2. 倍乘变换: 用非0数 $k$ 乘以矩阵的某一行
3. 倍加变换: 把矩阵的某行元素的 $k$ 倍加到另一行的对应元素上

行阶梯型矩阵

若矩阵满足如下两条需求:

1. 矩阵如果有零行(元素全为0的行), 则零行排在所有非零行(元素不全为0的行)的下面;
2. 非零行的排列次序为: 第 $i$ 行 $(i>1)$ 的首非零元(左起第一个非零元素)所在列的序号大于上一行(第 $i-1$ 行)的首非零元所在列的序号

则称 $A$ 为行阶梯型矩阵

行最简形矩阵

若行阶梯型矩阵 $A$ 又满足如下条件:

1. 非零行的首非零元都是1;
2. 非零行的首非零元所在的列的其余元素都为0

则称 $B$ 为行最简形矩阵

初等矩阵

对单位矩阵 $E$ 求一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵

通过初等变换求逆矩阵

对 $A$ 和 $E$ 做相同的初等行变换, 只要将 $A$ 变换成 $E$ , 也就将 $E$ 变换成了 $A^{-1}$

$$ (A|E) \Rightarrow (E|A^{-1}) $$

矩阵的秩

设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵, 在 $A$ 中任取 $k$ 行 $k$ 列 $k \le \min {m, \ n}$ ,将位于这些行和列相交处的元素, 按照原来的次序组成一个 $k$ 阶行列式, 称为矩阵 $A$ 的一个 $k$ 阶子式. 若矩阵 $A_{m \times n}$ 中存在一个 $r$ 阶子式不为0, 而所有高于 $r$ 阶子式全为0, 则称 $r$ 为矩阵 $A$ 的秩. 记作 $r(A)=r$ . 规定零矩阵的秩 $r(O)=0$ .

对于 $n$ 阶方阵 $A$ , 若 $r(A)=n$ , 则称 $A$ 为满秩

$n$ 阶方阵 $A$ 满秩的充分必要条件是 $|A| \ne 0$

$n$ 阶方阵 $A$ 可逆的充分必要条件是 $A$ 为满秩矩阵

矩阵方程

待定

向量代数

向量的概念

既有大小又有方向的量被成为向量, 也称矢量. 例如 $\overrightarrow{A}$ 或 $\overrightarrow{a}$

向量的模: 指向量的大小, 记作 $|\overrightarrow{AB}|$ 或 $\overrightarrow{a}$

单位向量: 模等于 1 的向量叫做单位向量, **零向量: ** 模等于0的向量叫做零向量.

零向量平行于任意向量

向量相等: 两向量相等的条件是大小相等且方向相同

向量的模 方向角 投影

模

两点间距离公式

方向角与方向余弦

方向角: 非0向量 $\overrightarrow{r}$ 与三条坐标轴的夹角 $\alpha, \ \beta, \ \gamma $ 称为向量 $\overrightarrow{r}$ 的夹角

同时有:

向量的数量积(点乘)

向量的夹角

向量的向量积(叉乘)

记作 $AB$ , $AC$ 为邻边的平行四边形为 $ABDC$ , 这 $\triangle ABC$ 的面积为平行四边形 $ABDC$ 面积的一半, 又向量积的几何意义可得

$$ \left | \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \right | = S_{\Box ABDC} $$

所以三角形的面积

$$ S_{\triangle ABC}=\frac12 \left | \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \right | $$

空间解析几何

空间平面方程

1. 点法式: (其中 $A,B,C$ 为法向量, $x_0,y_0,z_0$ 为空间平面上任意点的位置)

   $$ A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 $$

2. 一般式: (其中 $A,B,C$ 为法向量, $x_0,y_0,z_0$​ 为空间平面上任意点的位置)

   $$ Ax+By+Cz+D=0 $$

3. 截距式: (其中 $a,b,c$ 为截距, $\frac 1a, \frac 1b, \frac 1c$ 为法向量)

   $$ \frac xa + \frac yb + \frac zc = 1 $$

平面的位置关系

1. 平行不重合:

   $$ \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2} \ne \frac{D_1}{D_2} $$

2. 平行且重合:

   $$ \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2} = \frac{D_1}{D_2} $$

3. 相交: (只要有一个等号不成立即不相交)

   $$ \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2} $$

   夹角:

   $$ \cos \theta = \frac{\left | \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} \right |}{\left | \overrightarrow{n_1} \right |\left | \overrightarrow{n_2} \right |} = \frac{|A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2} \sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}} $$

4. 垂直:

   $$ A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0 $$

5. 点到平面的距离:

   $$ d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} $$

空间直线方程

1. 点向式(标准式, 对称式): (其中 $x_0, y_0, z_0$ 为直线上的点, $m, n, p$ 直线方向向量)

   $$ \frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{p} $$

2. 参数式: 令上式 $=t$, 则有

   $$ \left\{\begin{matrix} x=x_0+mt \\ y=y_0+nt \\ z=z_0+pt \\ \end{matrix}\right. $$

   其中, 当 $x, y, z$ 的系数为 $0$ 时, $m, n, p$ 为直线的方向向量

3. 一般式:

   $$ \left\{\begin{matrix} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \\ \end{matrix}\right. $$

4. 两点式:

   $$ \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1} $$

   其中直线 $l$ 的方向向量 $\left | \overrightarrow{s} \right | = (x_2-x_1, \ y_2-y_1, \ z_2-z_1)$

直线的位置关系

1. 平行或重合:

   $$ \frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2}=\frac{p_1}{p_2} $$

2. 垂直:

   $$ m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2=0 $$

3. 夹角:

   $$ \cos \theta = \frac{\left | \overrightarrow{s_1} \cdot \overrightarrow{s_2} \right | }{\left | \overrightarrow{s_1} \right | \left | \overrightarrow{s_2} \right | } = \frac{|m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2|}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2} \sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}} $$

直线与平面的位置关系

1. 直线在平面上:

   $$ Am+Bn++Cp+D=0 $$

   点在平面上:

   $$ Ax_0+By_0+Cz_0+D=0 $$

2. 直线和平面平行:

   $$ Am+Bn++Cp=0 $$

   点不走平面上:

   $$ Ax_0+By_0+Cz_0+D\ne 0 $$

3. 直线和平面垂直: ($A, B, C$ 为直线的方向向量, $m, n, p$ 平面的方向向量)

   $$ \frac Am = \frac Bn = \frac Cp $$

4. 夹角:

   $$ \sin \theta = \frac{|Am+Bn+Cp|}{\sqrt{m^2+n^2+p^2} \sqrt{A^2+B^2+C^2}} $$

向量组

向量组的概念

向量的线性运算

向量组的线性相关性

极大线性无关组

向量组的秩

线性方程组

线性方程组的概念

方程组

称为 $n$ 元线性方程组

有解的充要条件

齐次线性方程组 $Ax=0$

有唯一零解

$r(A)=n$ 其中 $n$ 为列数, 即满秩

有非零解

$r(A) < n$ 含有 $n$ 个未知变量 $n$ 个方程的系数矩阵 或 $|A| = 0$

非齐次线性方程组 $Ax=b$

有解

$r(A)=r(A|b)$ :

1. 有唯一解 $r(A)=r(A|b)=n$
2. 无穷多解 $r(A)=r(A|b) < n$

$n$ 为未知变量的个数, 即 $A$ 的列数

无解

$r(A) \ne r(A|b)$

齐次线性方程组

线性方程组

称为 $n$ 元齐次线性方程组.

上式中 $A$ 为方程组的系数矩阵, $x$ 为方程组的未知数向量. 则方程组可表示为

方程组只有零解的充要条件为 $a_1, a_2, … , a_n$ 线性无关, 而 $a_1, a_2, … , a_n$ 线性无关的充要条件为 $r(A)=n$ , 所以方程组只有零解的充要条件为 $r(A)=n$

其次线性方程组的解

性质

1. 若 $\xi_1 , \xi_2$ 为齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解, 则 $\xi_1 + \xi_2$ 也是 $Ax=0$ 的解
2. 若 $\xi$ 为齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解, 有一常数 $k$ , 则 $k \xi$ 也是 $Ax=0$ 的解

若齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解向量 $\xi_1 , \xi_2 , … , \xi_n$ 满足:

1. $\xi_1 , \xi_2 , … , \xi_n$ 线性无关
2. $Ax=0$ 的每一个解都能由 $\xi_1 , \xi_2 , … , \xi_n$ 线性表示

则把 $\xi_1 , \xi_2 , … , \xi_s$ 称为方程组 $Ax=0$ 的一个基础解系, 基础解析的线性组合

称为方程组 $Ax=0$ 的通解, 其中 $k_1, k_2, … , k_n \in R$

非齐次线性方程组

线性方程组

称为 $n$ 元非齐次线性方程组, 其中 $b_1, b_2, …, b_n$ 不全为0

如果把线性方程组的常数项都换成0, 就能得到对应的齐次线性方程组, 得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出组

方程组可以表示为

称 $(A,b)$ 或 $(A|b)$ 为方程组的增广矩阵

非齐次线性方程组的解

性质

1. 若 $\eta_1, \eta_2$ 为 $Ax=b$ 的两个解, 则 $\eta_1 - \eta_2$ 是齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解
2. 若 $\xi$ 为 $Ax=0$ 的解, $\eta$ 为 $Ax=b$ 的解, 则 $\xi + \eta$ 为 $Ax=b$ 的解

当 $r(A)<r(B)$ 时, 非齐次线性方程组无解

当 $r(A)=r(B)=n$ 时, 非齐次线性方程组有唯一解

当 $r(A)=r(B)=r<n$ 时, 方程组有无穷多解, 若 $\xi_1 , \xi_2 , … , \xi_n$ 为 $Ax=0$ 的基础解系, $\eta$ 为方程组 $Ax=b$ 的一个解, 则方程组 $Ax=b$ 的通解为